3. Conjunto Compacto

Definição: Um conjunto K ∊ ℝ é dito compacto quando toda sequência de pontos em K tem uma subsequência convergente para um ponto pertencente a K. (NERI; CABRAL, 2009, p. 91). Ou ainda, um conjunto K ∊ ℝ  é dito compacto quando é limitado e fechado.

Exemplos:

1) Seja K = [-1, 0]. K é um conjunto compacto?

Utilizando a definição de conjunto compacto devemos verificar se toda sequência (xn)n  de K possui uma subsequência convergente para um ponto de K.

Percebe-se que a sequência (xn)n dada de pontos em K converge para zero. Logo, pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, toda subsequência (xnk)n convergente de também converge para zero. Como podemos observar na figura, por exemplo, as subsequências de índices ímpares (em roxo) e pares (em vermelho) da sequência (xn)n.

Porém, o ponto a = 0 não pertence ao conjunto K = [-1, 0[. E portanto, K não é um conjunto compacto.

2) Já o conjunto K = [-1, 0] é compacto porque é limitado e fechado.

Ainda podemos dizer que K = [-1, 0] é compacto porque é limitado e fechado.

Referências

GIRALDO, V. Análise Real 2019 | Aula 26 | 27/11/2019 | Topologia da reta (parte 1). Dispoível em: <https://youtu.be/XMhN-TW9mwc> Acesso em: 31 jan. 2020.

GIRALDO, V. Análise Real 2019 | Aula 27 | 28/11/2019 | Topologia da reta (parte 1). Dispoível em: < https://youtu.be/-oHOiy1qVfY> Acesso em: 31 jan. 2020.

LIMA, E. L. Curso de Análise. Vol. 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2013.

NERI, C; CABRAL, M. Curso de Análise Real. Instituto de Matemática – UFRJ. 2009. Dispoível em: <https://www.labma.ufrj.br/~mcabral/livros/livro-analise/analise-livro.html> Acesso em: 20 jan. 2020.

PEMAT. Programa de Pós-graduação em Ensino da Matemática. Disponível em: < http://www.pg.im.ufrj.br/pemat/doutorado.htm> Acesso em: 20 jan. 2020.

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